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悬臂梁受三角形荷载时的挠度和弯矩公式
悬臂梁长为L,三角形荷载最大为q0,位于固定端
挠度公式为：w=（q0x^2）*（10L^3-10L^2 x+5Lx^2-x^3)/(120EIL)
弯矩在固定端的大小为：q0 L^2/6
悬臂端的转角：theta=q0L^3/(24EI)
悬臂端的挠度：w=q0L^4/(30EI)
理论挠度的计算公式
随着科学技术的进步以及建筑设计的发展，力学建筑不仅坚固，而且给人一种踏实舒服的感觉，那么一些工程建设就需要精确的科学计算之后，然后才开始进行工程的开发，下面小编就为大家简单的叙述一下挠度计算公式，以帮助一些建筑的设计完成。
第一步：
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当荷载的力作用在跨中时挠度的计算方式是：fmax=（P·L3）/（48×E·I）
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当荷载作用在任意一点时挠度的计算方式：fmax=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。
也就是说这两种情况我们如果进行分析的话，我们会发现集中荷载作用在任意一点时，也就是说任意一点可以是中点，那么上面的‚式就会包含式，而式知识挠度公式中的一个特例，当然也就是L1=L2= L/2这种情况。那么我们就可以这样思考了，将L1=L2= L/2代入‚式中，max=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。
=｛P·L/2·L/2（L＋L/2）·[3×L/2·（L＋L/2）]1/2｝/（27×E·I·L）
=｛P·L2/4·（3L/2）·[9×L2/4]1/2｝/（27×E·I·L）
=｛P·（3L2/8）·[3×L/2] ｝/（27×E·I）
= P·（9L3/16）/（27×E·I）
=（P·L3）/（48×E·I）
这样也就验算了以上的思想了。
第二步：
简单的推导过程:
我们以简支梁来为例：全粱应将其分为两段
对于梁的左段来说，则当0≤X1≤L1时，其弯矩方程可以表示为：
Mx1=（P·L2/L）·X；设f1为梁左段的挠度，则由材料力学。
E·I·f1／／=（P·L2/L）·X
积分得E·I·f1／=（P·L2/L）·X2/2＋C1
二次积分：E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1 ‚
因为X1等于零时：
简支梁的挠度f1等于零（边界条件）
将X1=0代入（2）得D1=0
而对于梁的右段，即当L1≤X2≤L时，其弯矩方程可以表现为：
MX2=（P·L2/L）·X－P·（X－L1）；
设f2为梁右段的挠度，则由材料力学
E·I·f2／／=（P·L2/L）·X－P·（X－L1）
积分得E·I·f2／=（P·L2/L）·X2/2－[P（X－L1）2/2]＋C2 ƒ
二次积分：E·I·f2=[（P·L2/L）·X3/6]－[P·（X－L1）3/6]＋C2X＋D2 ④
将左右段连接，则可以
①在X=0处，f1=0；
②在X=L1处，f1／= f2／（f1／、 f2／为挠曲线的倾角）；
③在X=L1处，f1= f2；
④在X=L处，f2=0；
由以上四条件求得（过程略）：C1= C2= -[（P·L2）/6 L]·（L2－L22）；D1=D2=0。
代入公式、‚、ƒ、④整理即得：
对于左段 0≤X≤L1
E·I·f1／=（P·L2/L）·X2/2＋C1 （1）
= P·L2/6L ·[3X2－（L2－L22）] （5）
E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1 （2）
= （P·L2/6×L）·[X3－X（L2－L22）] （6）
对于右段 L1≤X≤L
E·I·f2／=（P·L2/L）·X2/2－[P·（X－L2）2/2]＋C2 （3）
= （P·L2/6×L）·[3X2－（L2－L22）]-[ P/2·（X－L1）2] （7）
E·I·f2=[（P·L2/L）·X3/6]－[P·（X－L1）3/6]＋C2X＋D2 （4）
= （P·L2/6L）·[X3－X（L2－L22）] -[P/6·（X－L1）3] （8）
等一一对应的过程式。
第三步：按以上基础继续进行：
若L1＞L2，则最大挠度就显然在左段内，命左段的倾角方程（5）f /等于零，即得最大挠度所在之位置，于是令：
P·L2 /6L·[3X2－（L2－L22）] =0
则：3X2－（L2－L22）= 0
得：X=[（L2－L22）/3]1/2 （9）
将（9）式代入（6）式即得最大挠度
fmax= -[P·L2·（L2－L22）3/2]/ [9×31/2×L·E·I] （10）
展开即得：
fmax=-｛（P·L1·L2·（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2）｝/（27×E·I·L）。
这就是公式的推导过程，对于非专业人士可能不会十分清楚，小编这样希望给专业人士一个帮助性的指引，希望有关人士可以在建筑上能够得以应用。以上就是有关挠度计算公式的内容，希望能对大家有所帮助！
悬臂梁的挠度计算例题
悬臂梁挠度等于：（荷载* 跨度的4次方）除以 3倍的 钢材弹性模量*惯性矩
钢材弹性模量：206*10∧3
钢管的惯性矩等于：[π*D∧4(1-d∧4)]／64
悬臂梁自由端挠度计算
挠度计算公式：Ymax=5ql^4/(384EI)(长l的简支梁在均布荷载q作用下，EI是梁的弯曲刚度）
挠度与荷载大小、构件截面尺寸以及构件的材料物理性能有关。
挠度——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠度，用γ表示。
转角——弯曲变形时横截面相对其原来的位置转过的角度称为转角，用θ表示。
挠曲线方程——挠度和转角的值都是随截面位置而变的。在讨论弯曲变形问题时，通常选取坐标轴x向右为正，坐标轴y向下为正。选定坐标轴之后，梁各横截面处的挠度γ将是横截面位置坐标x的函数，其表达式称为梁的挠曲线方程，即γ= f(x) 。
扩展资料：
传统的桥梁挠度测量大都采用百分表或位移计直接测量，当前在我国桥梁维护、旧桥安全评估或新桥验收中仍广泛应用。该方法的优点是设备简单，可以进行多点检测，直接得到各测点的挠度数值，测量结果稳定可靠。
但是直接测量方法存在很多不足，该方法需要在各个测点拉钢丝或者搭设架子，所以桥下有水时无法进行直接测量；对跨线桥，由于受铁路或公路行车限界的影响，该方法也无法使用；跨越峡谷等的高桥也无法采用直接方法进行测量；另外采用直接方法进行挠度测量，无论布设还是撤消仪表，都比较繁杂耗时较长。
参考资料来源：百度百科——挠度
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